Résolution d'équations - Exemples

On résout les équations suivantes sur $\mathbb{R}$ .

1.  ${\text{e}}^x={\text{e}}^9$  
La solution de l'équation  ${\text{e}}^x={\text{e}}^9$  est  $x=9$ .
L'ensemble des solutions est $S=\{9\}$ .

2.  ${\text{e}}^x-\text{e}=0$  
On a  ${\text{e}}^x-{\text{e}}^1=0\iff {\text{e}}^x={\text{e}}^1\iff x=1$ .
L'ensemble des solutions est $S=\{1\}$ . 

3.  $({\text{e}}^x-{\text{e}}^{-2})({\text{e}}^{12}-{\text{e}}^x)=0$
L'équation est une équation produit nul, donc  $$\begin{gathered} ({\text{e}}^x-{\text{e}}^{-2})({\text{e}}^{12}-{\text{e}}^x)=0\iff {\text{e}}^x-{\text{e}}^{-2}=0\text{o}\text{u} \\ {\text{e}}^{12}-{\text{e}}^x=0\iff {\text{e}}^x={\text{e}}^{-2}\text{o}\text{u}{\text{e}}^{12}={\text{e}}^x\iff x=-2\text{o}\text{u}12=x \end{gathered}$$
L'ensemble des solutions est $S=\{-2;12\}$ .

4   .  $({\text{e}}^x{)}^2-{\text{e}}^x\times {\text{e}}^6=0$
On peut factoriser l'équation :     $$\begin{gathered} ({\text{e}}^x{)}^2-{\text{e}}^x\times {\text{e}}^6=0\iff {\text{e}}^x({\text{e}}^x-{\text{e}}^6)=0 \\ \iff {\text{e}}^x=0\text{o}\text{u}{\text{e}}^x-{\text{e}}^6=0\iff {\text{e}}^x=0\text{o}\text{u}x=6 \end{gathered}$$
La fonction exponentielle n'étant jamais nulle, l'équation n'admet que 6 pour unique solution. L'ensemble des solutions est $S=\{6\}$ .

5  .  ${\text{e}}^{8x+2}={\text{e}}^{4x-2}$
On a ${\text{e}}^{8x+2}={\text{e}}^{4x-2}\iff 8x+2=4x-2\iff 4x=-4\iff x=-1$
L'ensemble des solutions est  $S=\{-1\}$ .

6  .  ${\text{e}}^{x^2}-{\text{e}}^{2x-1}=0$
On a
$$\begin{gathered} {\text{e}}^{x^2}-{\text{e}}^{2x-1}=0\iff {\text{e}}^{x^2}={\text{e}}^{2x-1}\iff x^2=2x-1 \\ \iff x^2-2x+1=0\iff (x-1{)}^2=0\iff x-1=0\iff x=1 \end{gathered}$$
L'ensemble des solutions est $S=\{1\}$ .